Question

9．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，且AE=AC，聯(lián)結(jié)CE，取CE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF、DF．
（1）求證：DF⊥BF；
（2）設(shè)AC=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（3）當(dāng)DF=2BF時(shí)，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）方法一：如圖1中，連接AF，只要證明△ABF≌DCF即可．方法二：如圖2中，連接BD，與AC相交于點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OF，只要證明OB=OF=OD即可．
（2）由y=DF=$\sqrt{B{D}^{2}-B{F}^{2}}$即可解決問(wèn)題．
（3）首先證明CE=DF=AF，列出方程即可解決．

解答 （1）證明：方法一：如圖1中，連接AF，

∵AE=AC，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，
∴AF⊥CE，即∠AFC=90°，
∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=90°，
∴EF=BF=CF=$\frac{1}{2}CE$，
∴∠FBC=∠FCB，即∠ABC+∠FBC=∠DCB+∠FCB，
∴∠ABF=∠DCF，
在△ABF和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CF}\\{∠ABF=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌DCF，
∴∠AFB=∠DFC，
∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=∠AFD+∠DFC=∠AFC=90°，
即DF⊥BF；
方法二：如圖2中，連接BD，與AC相交于點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OF，

∵在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=OB=OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∵點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴OF=$\frac{1}{2}$AE，
∵AE=AC，∴OF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∴OF=OB=OD，
∴∠OBF=∠OFB，∠OFD=∠ODF，
∵∠OBF+∠OFB+∠OFD+∠ODF=180°，
∴2∠OFB+2∠OFD=180°，
∴∠OFB+∠OFD=90°，即∠BFD=90°，∴DF⊥BF；

（2）解：在Rt△ABC中，BC²=AC²-AB²=x²-9，
∵AE=AC=x，∴BE=x-3，
∴EC=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（{x}^{2}-9）+（x-3）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-6x}$，
∴BF=$\frac{1}{2}CE$=$\frac{{\sqrt{2{x^2}-6x}}}{2}$，
∴y=DF=$\sqrt{B{D}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{2{x}^{2}-6x}{4}}$=$\frac{{\sqrt{2{x^2}+6x}}}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{2{x}^{2}+6x}}{2}$（x＞3）．

（3）∵△ABF≌DCF，∴AF=DF，
∵在Rt△ABC中，CE=2BF，又∵DF=2BF，∴CE=DF=AF，
∴$\sqrt{2{x^2}-6x}$=$\frac{{\sqrt{2{x^2}+6x}}}{2}$，
∴x₁=0，x₂=5．經(jīng)檢驗(yàn)，x₁=0，x₂=5都是方程的根，但x=0不符合題意．
∴BC=$\sqrt{{x}^{2}-9}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．