Question

如圖，Rt△ABC的斜邊AB=4，O是AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓分別與兩直角邊相切于點(diǎn)D、E，
（1）求證：∠A=∠B．
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）證明：連接OD、OE，
∵AC、BC分別為圓O的切線，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴AO=BO，
在Rt△AOD和Rt△BOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△BOE（HL），
∴∠A=∠B；

（2）∵Rt△AOD≌Rt△BOE，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴△ADO與△BEO都為等腰直角三角形，
∴∠DOA=∠EOB=45°，
∵AO=BO=2，
根據(jù)勾股定理得：OD=，
則S_陰=2（S_△AOD-S_扇形）=2×[×（）²-]=2-．
分析：（1）由AC與BC都為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到三角形AOD與三角形BOE為直角三角形，由OD=OE，且AO=BO，利用HL得到兩直角三角形全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等即可得證；
（2）由（1）∠A=∠B，得到三角形ABC為等腰直角三角形，進(jìn)而確定出三角形AOD與三角形BOE都為等腰直角三角形，由斜邊OA的長求出OD的長，且得出扇形圓心角的度數(shù)，陰影部分的面積為2（三角形AOD面積-扇形面積），求出即可．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形全等判定方法-HL，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及扇形面積求法，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．