Question

△ABC中，AC=BC．以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G．直線DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點(diǎn)E．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如果BC=10，AB=12，求CG的長．

Answer 1

解：如圖，連接OD，CD，BG，
（1）∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BCD=∠ADF，
∵∠ADF=∠EDB，
∵OC=OD，
∴∠BCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠EDB，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠EDB+∠BDO=90°，
即∠EDO=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF與⊙O相切，

（2）∵BC為⊙O的直徑，
∴BG⊥AC，
∵∠A=∠ABC，
∴△ABG∽△BCD，
∴，
∵OD⊥EF，AC⊥EF，
∴OD∥AC，
∵OB=OC，
∴BD=AD，
∵AB=12，
∴BD=AD=6，
∵BC=10，
∴AC=BC=10，
∴，
∴AG=7.2，
∴CG=AC-AG=10-7.2=2.8．

分析：根據(jù)題意做出輔助線連接OD，CD，BG，（1）由圓周角定理和垂直的性質(zhì)推出∠BDC=∠AFD=90°，再由等腰三角形的性質(zhì)推出∠A=∠ABC，根據(jù)余角的性質(zhì)即可推出∠BCD=∠ADF，由∠ADF=∠EDB，OC=OD，推出∠BCD=∠ODC，通過等量代換即可推出∠EDB+∠BDO=90°，即OD⊥EF，從而推出EF與⊙O相切，（2）由BG⊥AC，∠A=∠ABC，推出△ABG∽△BCD，求得比例式，根據(jù)OD⊥EF，AC⊥EF，推出OD∥AC，根據(jù)平行線等分線段定理推出BD=AD后，結(jié)合已知即可求出BD=AD=6，由AC=BC=10，即可求出AG=7.2，結(jié)合圖形即可推出CG=AC-AG=10-7.2=2.8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定、余角的概念與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理，正確的做出輔助線，推出∠ODC=∠EDB，
OD⊥EF；通過求證△ABG∽△BCD，正確的推出關(guān)于對(duì)應(yīng)邊的比例式．