Question

4．如圖，一個圓形噴水池的中央垂直于水面安裝了一個柱形噴水裝置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，按如圖所示建立直角坐標系，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關系式可以用y=-x²+bx+c表示，且拋物線經(jīng)過點B（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），C（2，$\frac{7}{4}$）．
請根據(jù)以上信息，解答下列問題；
（1）求拋物線的函數(shù)關系式，并確定噴水裝置OA的高度；
（2）噴出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？

Answer 1

分析 （1）將點B、C坐標代入y=-x²+bx+c列不等式組求出b、c的值即可得解析式，令x=0可得y的值，即噴水裝置OA的高度；
（2）將拋物線解析式配方成頂點式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；
（3）令y=0可得對應x的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，將點B（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），C（2，$\frac{7}{4}$）代入y=-x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}b+c=\frac{5}{2}}\\{-{2}^{2}+2b+c=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴y與x的函數(shù)關系式為：y=-x²+2x+$\frac{7}{4}$，
當x=0時，y=$\frac{7}{4}$，
∴噴水裝置OA的高度為$\frac{7}{4}$米；

（2）∵y=-x²+2x+$\frac{7}{4}$=-（x-1）²+$\frac{11}{4}$，
∴當x=1時，y取得最大值$\frac{11}{4}$，
故噴出的水流距水面的最大高度是$\frac{11}{4}$米；

（3）當y=0時，解方程-x²+2x+$\frac{7}{4}$=0，
解得：x₁=1-$\frac{\sqrt{11}}{2}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∵x₁=1-$\frac{\sqrt{11}}{2}$＜0，不合題意，舍去，
∴x₂=1+$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
答：水池的半徑至少要1+$\frac{\sqrt{11}}{2}$米，才能使噴出的水流不至于落在池外．

點評 本題是二次函數(shù)的實際應用，掌握拋物線頂點、與x軸交點、y軸交點的實際意義是解題的關鍵．