Question

13．?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△OAB是等邊三角形，且AB=4．求?ABCD的面積．

Answer 1

分析 由△AOB是等邊三角形可以推出?ABCD是矩形，得出AC=BD=8，∠BAD=90°，由勾股定理求出AD，即可得出?ABCD的面積．

解答 解：如圖，∵?ABCD的對角線相交于點O，△AOB是等邊三角形，
∴OA=OC，OB=OD，OA=OB=AB=4，
∴AC=BD，
∴?ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD=2OA=8，
∴AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面積=AB•AD=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形是矩形是解決問題的關(guān)鍵．