Question

12．已知二次函數(shù)y=2x²+bx-1．
（1）求證：無論b取什么值，二次函數(shù)y=2x²+bx-1圖象與x軸必有兩個交點．
（2）若兩點P（-3，m）和Q（1，m）在該函數(shù)圖象上．
①求b、m的值；
②將二次函數(shù)圖象向上平移多少單位長度后，得到的函數(shù)圖象與x軸只有一個公共點？

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷△=＞0，然后根據(jù)判別式的意義可判斷拋物線與x軸必有兩個交點；
（2）①先利用拋物線的對稱性可確定拋物線的對稱軸方程，從而可求出b的值，然后計算自變量為1所對應(yīng)的函數(shù)值即可得到m的值；
②設(shè)平移后拋物線的關(guān)系式為y=2x²+4x-1+k，根據(jù)判別式的意義△=0得到關(guān)于k的方程，然后解方程求出k的值即可判斷拋物線平移的距離．

解答 （1）證明：∵△=b²-4×2×（-1）=b²+8＞0，
∴無論b取何值時，二次函數(shù)y=2x²+b x-1圖象與x軸必有兩個交點；
（2）解：①∵點P、Q是二次函數(shù)y=2x²+bx-1圖象上的兩點，且兩點縱坐標(biāo)都為m
∴點P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴拋物線對稱軸是直線x=-1，
∴-$\frac{2×2}$=-1，解得b=4，
∴拋物線解析式為y=2x²+4x-1，
當(dāng)x=1時，m=2×1²+4×1-1=5；
②設(shè)平移后拋物線的關(guān)系式為y=2x²+4x-1+k，
∵平移后的圖象與x軸僅有一個交點，
∴△=16+8-8 k=0，解得k=3，
即將二次函數(shù)圖象向上平移3個單位時，函數(shù)圖象與x軸僅有一個公共點．

點評 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．