Question

如圖，點(diǎn)P，Q，R分別在△ABC的邊上AB、BC、CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，那么，△ABC面積的最大值是

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   3

Answer 1

B
分析：首先，若以Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分別記△APR，△BPQ，△CRQ，△PQR，利用三角形內(nèi)角和定理，求證：h₂≤h₁（h₁，h₂分別為△QRP，△APR公共邊PR上的高．因若作出△PQR關(guān)于PR的對(duì)稱圖形PQ′R，這時(shí)Q′，A都在以PR為弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ′=Q′R，所以Q′為這弧中點(diǎn)，故可得出h₂≤h₁）．最后，當(dāng)AB=AC-2，∠A=90°時(shí)，即可得出△ABC面積的最大值．
解答：解：首先，若以Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分別記△APR，△BPQ，△CRQ，△PQR，
則S_Ⅱ，S_Ⅲ，S_Ⅳ均不大于．
又∵∠PQR=180°-（∠B+∠C）=∠A，
∴h₂≤h₁（h₁，h₂分別為△QRP，△APR公共邊PR上的高，因若作出△PQR關(guān)于PR的對(duì)稱圖形PQ′R，這時(shí)Q′，A都在以PR為弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ′=Q′R，所以Q′為這弧中點(diǎn)，故可得出h₂≤h₁）．
從而S₁≤S_Ⅳ≤，這樣S_△ABC=S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ+S_N≤
最后，當(dāng)AB=AC-2，∠A=90°時(shí)，
S_△ABC=2即可以達(dá)到最大值2．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形面積的理解和掌握，但此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，尤其是涉及到弧、弦、對(duì)稱圖形，是一道難題．