Question

已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)．若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥BC，且交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形PQMN，記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．
（1）如圖，當(dāng)AP=3cm時(shí)，求y的值；
（2）設(shè)AP=xcm，試用含x的代數(shù)式表示y（cm²）；
（3）當(dāng)y=2cm²時(shí)，試確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AP的長，求出PQ的值，然后看看正方形與矩形是否重合，若重合求出重合部分的線段的長，然后根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．
（2）要分四種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)N在D點(diǎn)或D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出x=

8

3

，即0＜x≤

8

3

時(shí)，此時(shí)正方形與矩形沒有重合，因此y=0；
②當(dāng)N在D點(diǎn)右側(cè)，而P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)或與D點(diǎn)重合時(shí)，即

8

3

＜x≤4，此時(shí)正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長，NM為寬的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（4-

1

2

x）=

3

2

x-4．而NM=PQ=

1

2

x，因此重合部分的面積應(yīng)該是y=（

3

2

x-4）×

1

2

x=

3

4

x²-2x；
③當(dāng)P在D點(diǎn)右側(cè)，而N點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或與B點(diǎn)重合時(shí)，即4＜x≤

16

3

時(shí)，此時(shí)正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長為長，DE為寬的矩形的面積，PN=

1

2

x，DE=2，因此此時(shí)重合部分的面積是y=

1

2

x×2=x；
④當(dāng)P在B左側(cè)時(shí)，而N點(diǎn)在AB延長線上時(shí)，即

16

3

＜x＜8時(shí)，此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是以DE長為寬，PA長為長的矩形的面積．BP=AB-AP=8-x，BF=DE=2，因此此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是y=（8-x）×2=16-2x．
（3）將y=2代入（2）的式子中，看看求出的x哪個(gè)符合條件即可．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，
∴tanA=

BC

AB

=

1

2

，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴AD=BD=4cm，DE=2cm，
∴Rt△APQ中，AP=3cm，
∴PQ=AP•tanA=3×

1

2

=1.5cm，
∴DN=AN-AD=AP+PN-AD=3+1.5-4=0.5，
∴重合部分的面積應(yīng)該是y=DN×MN=1.5×0.5=0.75cm²；

（2）當(dāng)0＜x≤

8

3

，y=0；
當(dāng)

8

3

＜x≤4，y=

3

4

x2-2x，
當(dāng)4＜x≤

16

3

，y=x；
當(dāng)

16

3

＜x＜8，y=16-2x；

（3）當(dāng)

8

3

＜x≤4時(shí)，如果y=2，2=

3

4

x2-2x，解得x=

4+2 10

3

或x=

4-2 10

3

（舍去）；
當(dāng)4＜x≤

16

3

時(shí)，如果y=2，x=2，也不符合題意，
當(dāng)

16

3

＜x＜8時(shí)，如果y=2，2=16-2x，解得x=7，因此當(dāng)AP=7cm時(shí)，y=2cm²．
∴當(dāng)x=7cm或x=

4+2 10

3

cm時(shí)，y=2cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，中位線定理以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，要注意（2）（3）中，正方形的位置不同時(shí)，函數(shù)解析式是不同的，要分類討論，不要漏解．