巳知二次函數(shù)y=a(x2-6x+8)(a>0)的圖象與x軸分別交于點A、B,與y軸交于點C.點D是拋物線的頂點.
(1)如圖①.連接AC,將△OAC沿直線AC翻折,若點O的對應點0'恰好落在該拋物線的 對稱軸上,求實數(shù)a的值;
(2)如圖②,在正方形EFGH中,點E、F的坐標分別是(4,4)、(4,3),邊HG位于邊EF的 右側(cè).小林同學經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題:“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點,則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等 (即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形).“若點P是邊EF或邊FG上的任意一點,剛才的結(jié)論是否也成立?請你積極探索,并寫出探索過程;
(3)如圖②,當點P在拋物線對稱軸上時,設點P的縱坐標t是大于3的常數(shù),試問:是否存在一個正數(shù)a,使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等 (即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形)?請說明理由.
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分析:(1)本題需先求出拋物線與x軸交點坐標和對稱軸,再根據(jù)∠OAC=60°得出OC,從而求出a.
(2)本題需先分兩種情況進行討論,當P是EF上任意一點時,可得PC>PB,從而得出PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形.
(3)本題需先得出PA=PB,再由PC=PD,列出關于t與a的方程,從而得出a的值,即可求出答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)令y=0,由a(x2-6x+8)=0,
解得x1=2,x2=4;
令x=0,解得y=8a,
∴點 A、B、C的坐標分別是(2,0)、(4,0)、(0,8a),
該拋物線對稱軸為直線x=3,
∴OA=2,
如圖①,設拋物線對稱軸與x軸的交點為M,則AM=1,
由題意得:O′A=OA=2,
∴O′A=2AM,
∴∠O′AM=60°,
∴∠OAC=∠O′AC=60°,
∴OC=2
3
,即8a=2
3
,
∴a=
3
4
;
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(2)若點P是邊EF或邊FG上的任意一點,結(jié)論同樣成立,
①如圖②,設P是邊EF上的任意一點,連接PM,
∵點E(4,4)、F(4,3)與點B(4,0)在一直線上,點C在y軸上,
∴PB<4,PC≥4,
∴PC>PB,
又∵PD>PM>PB,PA>PM>PB,
∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形,
②設P是邊FG上的任意一點(不與點G重合),
∵點F的坐標是(4,3),點G的坐標是(5,3),
∴FB=3,GB=
10
,
∴3≤PB
10
,
∵PC≥4,
∴PC>PB,
又∵PD>PM>PB,PA>PM>PB,
∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,
∴此時線段PA、PB、PC、PD也不能構(gòu)成平行四邊形;

(3)存在一個正數(shù)a,使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形,
如圖③,∵點A、B是拋物線與x軸交點,點P在拋物線對稱軸上,精英家教網(wǎng)
∴PA=PB,
∴當PC=PD時,線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形,
∵點C的坐標是(0,8a),點D的坐標是(3,-a),
點P的坐標是(3,t),
∴PC2=32+(t-8a)2,PD2=(t+a)2,
由PC=PD得PC2=PD2,
∴32+(t-8a)2=(t+a)2,
整理得:7a2-2ta+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴a=
2t±
4t2-28
14
=
t2-7
7

∴a=
t+
t2-7
7
或a=
t-
t2-7
7
,
∵t>3,
∴顯然a=
t+
t2-7
7
或a=
t-
t2-7
7
,滿足題意,
∴當t是一個大于3的常數(shù)時,存在兩個正數(shù)a=
t+
t2-7
7
或a=
t-
t2-7
7
,使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題,在解題時要注意運用數(shù)形結(jié)合和分類討論,把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是本題的關鍵.
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