Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連接AD、BD、OC、OD，且OD=5．
（1）若sin∠BAD=

3

5

，求CD的長；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）首先根據銳角三角函數求得直角三角形ABC的兩條直角邊，再根據面積計算其斜邊上的高，進一步根據垂徑定理計算弦長；
（2）根據直角三角形的兩個銳角互余結合已知條件求得扇形所對的圓心角，進一步求其面積．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，OD=5，
∴∠ADB=90°，AB=10，
在Rt△ABD中，sin∠BAD=

BD

AB

，sin∠BAD=

3

5

，
∴

BD

10

=

3

5

，BD=6，
∴AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8，
∵∠ADB=90°，AB⊥CD，
∴DE•AB=AD•BD，CE=DE，
∴DE×10=8×6，
∴DE=

24

5

∴CD=2DE=

48

5

；

（2）∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴

CB

=

BD

，

AC

=

AD

，
∴∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CDB=∠ADO，
設∠ADO=4x，則∠CDB=4x．
由∠ADO：∠EDO=4：1，則∠EDO=x．
∵∠ADO+∠EDB+∠EDO=90°，
∴4x+4x+x=90°，
解得：x=10°，
∴∠AOD=180°-（∠OAD+∠ADO）=100°，
∴∠AOC=∠AOD=100°，
∴S_扇形OAC=

100

360

×π×52=

125

18

π．

點評：本題為圓的綜合題，綜合考查了解直角三角形、三角函數、陰影部分面積等相關知識．