【題目】如圖,四邊形為一個(gè)矩形紙片,,動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)后停止.以直線為軸翻折,點(diǎn)落到點(diǎn)的位置.設(shè),與原紙片重疊部分的面積為.

(1)當(dāng)為何值時(shí),直線過(guò)點(diǎn)

(2)當(dāng)為何值時(shí),直線過(guò)的中點(diǎn)?

(3)求出的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】(1)當(dāng)x=時(shí),直線AD1過(guò)點(diǎn)C(2)當(dāng)x=時(shí),直線AD1過(guò)BC的中點(diǎn)E(3)當(dāng)0x2時(shí),y=x;當(dāng)2x3時(shí),y=

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)折疊得出AD=AD1=2,PD=PD1=x,D=AD1P=90°,在RtABC中,根據(jù)勾股定理求出AC,在RtPCD1中,根據(jù)勾股定理得出方程,求出即可;

(2)連接PE,求出BE=CE=1,在RtABE中,根據(jù)勾股定理求出AE,求出AD1=AD=2,PD=PD1=x,D1E=﹣2,PC=3﹣x,在RtPD1E和RtPCE中,根據(jù)勾股定理得出方程,求出即可;

(3)分為兩種情況:當(dāng)0x2時(shí),y=x;當(dāng)2x3時(shí),點(diǎn)D1在矩形ABCD的外部,PD1交AB于F,求出AF=PF,作PGAB于G,設(shè)PF=AF=a,在RtPFG中,由勾股定理得出方程(x﹣a)2+22=a2,求出a即可.

試題解析:

(1)

如圖1,由題意得:ADP≌△AD1P,

AD=AD1=2,PD=PD1=x,D=AD1P=90°,

直線AD1過(guò)C,

PD1AC,

在RtABC中,AC=,CD1=﹣2,

在RtPCD1中,PC2=PD12+CD12,

即(3﹣x)2=x2+﹣2)2,

解得:x=

當(dāng)x=時(shí),直線AD1過(guò)點(diǎn)C;

(2)如圖2,

連接PE,

E為BC的中點(diǎn),

BE=CE=1,

在RtABE中,AE==,

AD1=AD=2,PD=PD1=x,

D1E=﹣2,PC=3﹣x,

在RtPD1E和RtPCE中,

x2+﹣2)2=(3﹣x)2+12,

解得:x=,

當(dāng)x=時(shí),直線AD1過(guò)BC的中點(diǎn)E;

(3)如圖3,

當(dāng)0x2時(shí),y=x,

如圖4,

當(dāng)2x3時(shí),點(diǎn)D1在矩形ABCD的外部,PD1交AB于F,

ABCD,

∴∠1=2,

∵∠1=3(根據(jù)折疊),

∴∠2=3,

AF=PF,

作PGAB于G,

設(shè)PF=AF=a,

由題意得:AG=DP=x,F(xiàn)G=x﹣a,

在RtPFG中,由勾股定理得:(x﹣a)2+22=a2

解得:a=,

所以y==

綜合上述,當(dāng)0x2時(shí),y=x;當(dāng)2x3時(shí),y=

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(1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù):

ɑ

30°

40°

50°

60°

β

120°

130°

140°

150°

γ

150°

140°

130°

120°

猜想:β關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式,γ關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式,并給出證明:

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