Question

12．如圖，已知E為∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D
求證：（1）OC=OD；
            （2）OE是CD的垂直平分線；
            （3）∠ECD=∠EDC．

Answer 1

分析 （1）由E為∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可證得ED=EC，∠OED=∠OEC，繼而可證得OC=OD；
（2）由OC=OD，ED=EC，可得點(diǎn)O與點(diǎn)D都在CD的垂直平分線上，又由兩點(diǎn)確定一條直線，證得結(jié)論；
（3）由ED=EC，可證得∠ECD=∠EDC．

解答 證明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，∠OED=∠OEC，
∴OC=OD；

（2）∵OC=OD，ED=EC，
∴點(diǎn)O與點(diǎn)D都在CD的垂直平分線上，
∴OE是CD的垂直平分線；

（3）連接CD，
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．注意掌握角平分線的定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．