Question

如圖，已知PA、PB是⊙O的兩條弦，C、D分別是

PA

、

PB

的中點，且

PC

=

PD

，PO的延長線交AB于點E，求證：PE⊥AB．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關系

專題：證明題

分析：連接OA，OB，由C、D分別是

PA

、

PB

的中點，且

PC

=

PD

，可得

PA

=

PB

，進而可得：PA=PB，然后根據(jù)等邊對等角可得：∠PAB=∠PBA，即∠2+∠3=∠4+∠5，然后由OA=OB=OP，可得：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，進而可得：∠1=∠6，然后由等腰三角形的三線合一，可證PE⊥AB．

解答：證明：連接OA，OB，如圖所示，

∵C、D分別是

PA

、

PB

的中點，且

PC

=

PD

，
∴

PA

=

PB

，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
即∠2+∠3=∠4+∠5，
∵OA=OB=OP，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠1=∠6，
∵PA=PB，
∴PE⊥AB．

點評：此題考查了圓心角、弧、弦的關系，及等腰三角形的性質，由邊等得到角等是解題的關鍵．