Question

如圖，D為△ABC內(nèi)的一點，E為△ABC外的一點，且∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求證：△ABD∽△CBE．
（2）求證：△ABC∽△DBE．

Answer 1

證明：（1）∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），
∴△ABD∽△CBE（兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似）；

（2）∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
由（1）△ABD∽△CBE可得：=（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），
∴△ABC∽△DBE（兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等兩三角形相似）．
分析：（1）觀察圖形，由已知的∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△ABD∽△CBE；
（2）根據(jù)已知的∠1=∠2，利用等式的性質(zhì)，在∠1，∠2的兩側(cè)都加上∠DBC，即可得到∠ABC=∠DBE，同時再利用第一問已證的△ABD∽△CBE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到：=，最后利用兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等兩三角形相似，即可證得△ABC∽△DBE．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，其中判定三角形相似的方法有：①如果兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．相似三角形的性質(zhì)主要有：兩三角形相似，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．解決本題時，一定要善于利用第一問已證的結(jié)論，運用已證的結(jié)論得到有關(guān)的知識為第二問的證明做準(zhǔn)備．