Question

如圖，點C在以AB為直徑的半圓O上，延長BC到點D，使得CD=BC，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，點G為DF的中點，連接CG、OF、FB．
（1）求證：CG是⊙O的切線；
（2）若△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，求證：OF∥BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．欲證CG是⊙O的切線，只需證明∠CGO=90°，即CG⊥OC；
（2）根據直角三角形ABC、直角三角形DCF的面積公式，以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求得AC=2AF；然后根據三角形中位線的判定與定理證得該結論．
解答：證明：（1）如圖，連接OC．
在△ABC中，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
又∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO（等邊對等角）；
在Rt△DCF中，∵點G為DF的中點，∴CG=GF（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半），
∴∠GCF=∠CFG（等邊對等角）；
∵DE⊥AB（已知），∠CFG=∠AFE（對頂角相等）；
∴在Rt△AEF中，∠A+∠AFE=90°；
∴∠ACO+∠GCF=90°，即∠GCO=90°，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），即AC⊥BD；
又∵CD=BC，點G為DF的中點，
∴S_△AFB=S_△ABC-S_△BCF=（AC•BC-CF•BC），S_△DCG=S_△FCD=×DC•CF=BC•CF；
∵△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，
∴（AC•BC-CF•BC）=2×BC•CF，
∴AC=2CF，即點F是AC的中點；
∵O點是AB的中點，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF∥BC．
點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．