Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為C點，與x軸交于A（m-2，0）、B（m+2，0）兩點，且AC⊥BC．
（1）求a的值；
（2）設拋物線交y軸正半軸于D點，問是否存在實數m，使得△BOD與△ABC相似？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；
（3）當0≤x≤1時，y有最小值為-1，求m的值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）先由拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸交于A（m-2，0）、B（m+2，0）兩點，可設拋物線的解析式為y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，再由AC⊥BC，根據拋物線的對稱性得出△ABC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質得出|-4a|=

1

2

AB=2，結合a＞0即可求出a=

1

2

；
（2）先由拋物線y=

1

2

（x-m）²-2交y軸正半軸于D點，得出D（0，

1

2

m²-2），OD=

1

2

m²-2．再由△ABC是等腰直角三角形，得到當△BOD與△ABC相似時，△BOD也是等腰直角三角形，于是OD=OB．然后分m+2＞0；m+2＜0；m+2=0三種情況進行討論；
（3）先由二次函數的性質得出函數y=

1

2

（x-m）²-2，當x=m時，y有最小值為-2．根據題目條件0≤x≤1時，y有最小值為-1，可知m＜0或m＞1．再分m＜0；m＞1兩種情況進行討論．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸交于A（m-2，0）、B（m+2，0）兩點，
∴可設拋物線的解析式為y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，
∴頂點C（m，-4a），
∵AC⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴|-4a|=

1

2

AB=2，
∴a=

1

2

；

（2）∵拋物線y=

1

2

（x-m）²-2交y軸正半軸于D點，
∴D（0，

1

2

m²-2），OD=

1

2

m²-2．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴當△BOD與△ABC相似時，△BOD也是等腰直角三角形，
∴OD=OB．
①當m+2＞0時，

1

2

m²-2=m+2，解得m₁=4，m₂=-2（不合題意舍去）；
②當m+2＜0時，

1

2

m²-2=-（m+2），解得m₁=0，m₂=-2（均不合題意，都舍去）；
③當m+2=0即m=-2時，B、O、D三點重合，（不合題意舍去）；
綜上所述，存在實數m=4，使得△BOD與△ABC相似；

（3）∵y=

1

2

（x-m）²-2，
∴當x=m時，y有最小值為-2．
∵當0≤x≤1時，y有最小值為-1，
∴m＜0或m＞1．
①當m＜0時，頂點（對稱軸x=m）在0≤x≤1范圍左側，
此時函數在0≤x≤1范圍內y隨著x的增大增大，所以當x=0時，y最小，
所以-1=

1

2

（0-m）²-2，
解得m=±

2

，
因m＜0，所以m=-

2

；
②當m＞1時，頂點（對稱軸x=m）在0≤x≤1范圍右側，
此時函數在0≤x≤1范圍內y隨著x的增大而減小，
所以當x=1時，y最小，
所以-1=

1

2

（1-m）²-2，
解得m=1±

2

，
因m＞1，所以m=1+

2

；
綜上所述，m的值為-

2

或1+

2

．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求二次函數的解析式，拋物線的對稱性、增減性，最值的求法，等腰直角三角形的判定與性質，相似三角形的性質，綜合性較強，難度適中．進行分類討論是解題的關鍵．