Question

如圖，AB為半圓的直徑，AB=10，點(diǎn)O到弦AC的距離為4，點(diǎn)P從B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接CP，經(jīng)過(guò)

 

秒后，△APC為等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等腰三角形的判定,垂徑定理

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：作OD⊥AC于D，如圖，根據(jù)垂徑定理得AD=CD，在Rt△ADO中利用勾股定理計(jì)算出AD=3，則AC=2AD=6，然后分類(lèi)討論：當(dāng)CP=CA時(shí)，作CE⊥AB于E，連接BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，利用勾股定理計(jì)算出BC=8，再利用面積法得

1

2

CE•AB=

1

2

AC•BC，則CE=

24

5

，接著在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AE=

18

5

，由于AE=PE，所以BP=AB-2AE=

14

5

，則t=

14

5

（s）；當(dāng)PA=PC時(shí)，易得點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，PB=5，此時(shí)t=5（s）；當(dāng)AP=AC=6時(shí)，則PB=AB-AP=4，此時(shí)t=4（s）．

解答：解：作OD⊥AC于D，如圖，
∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
在Rt△ADO中，∵OA=5，OD=4，
∴AD=

OA2-OD2

=3，
∴AC=2AD=6，
當(dāng)CP=CA時(shí)，作CE⊥AB于E，連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC=

AB2-AC2

=8，
∴

1

2

CE•AB=

1

2

AC•BC，
∴CE=

6×8

10

=

24

5

，
在Rt△ACE中，AE=

AC2-CE2

=

18

5

，
∵AE=PE，
∴BP=AB-2AE=

14

5

，
∴t=

14

5

（s）；
當(dāng)PA=PC時(shí)，則點(diǎn)P在AC的垂直平分線(xiàn)上，所以點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，PB=5，此時(shí)t=5（s）；
當(dāng)AP=AC=6時(shí)，PB=AB-AP=4，此時(shí)t=4（s），
綜上所述，t=

14

5

s或4s或5s．
故答案為

14

5

或4或5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理、等腰三角形的判定．