Question

如圖，已知Rt△ABC的頂點A是一次函數y=x+m與反比例函數的圖象在第一象限內的交點，且S_△AOB=3．
（1）該一次函數與反比例函數的解析式是否能完全確定如能確定，請寫出它們的解析式；如不能確定，請說明理由．
（2）如果線段AC的延長線與反比例函數的圖象的另一支交于D點，過D點作DE⊥x軸于E，那么△ODE的面積與△AOB的面積的大小關系能否確定？
（3）請判斷△AOD為何特殊三角形，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）設B（x₀，0），則，其中x₀＞0，m＞0，
在Rt△ABO中，，
則，即m=6，
∴一次函數的解析式為y=x+6，
∴反比例函數的解析式為；

（2）由得x²+6x-6=0，
解得：，
∴，
由反比例函數的定義可知，對反比例函數圖象上任意一點P（x，y），有，即xy=6，
∴S_△DEO=×OE×DE=×6=3，
即S_△DEO=S_△AOB；

（3）由，
可得，
即AO=DO，
∵∠AOD＞90°，
∴△AOD為鈍角等腰三角形．
分析：（1）根據S_△AOB=3可以求出反比例函數的解析式，求出m的值，則一次函數的解析式也相應求出；
（2）根據函數的解析式，就可以通過解方程組求出函數的交點坐標．進而得到兩個三角形的面積；
（3）根據A、D的坐標，可以求出AO、DO的長，就可以判斷三角形的形狀．
點評：通過反比例函數圖象上的點，作x軸的垂線，垂線，x軸上的點與原點的連線構成的三角形，與反比例函數的解析式的關系．是本題的考查的一個重點．