Question

15．課上教師呈現(xiàn)一個(gè)問題：
已知：如圖1，AB∥CD，EF⊥AB于點(diǎn)O，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)P，當(dāng)∠1=30°時(shí)，求∠EFG的度數(shù)．

甲、乙、丙三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線解決問題，如圖2：
甲同學(xué)輔助線的做法和分析思路如下：輔助線：過點(diǎn)F作MN∥CD．
分析思路：
（1）欲求∠EFG的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求∠2和∠3的度數(shù)；
（2）由輔助線作圖可知，∠2=∠1，又由已知∠1的度數(shù)可得∠2的度數(shù)；
（3）由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；
（4）由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度數(shù)；
（5）從而可求∠EFG的度數(shù)．
請(qǐng)你選擇乙同學(xué)或丙同學(xué)所畫的圖形，描述輔助線的作法，并寫出相應(yīng)的分析思路．

Answer 1

分析 選擇乙同學(xué)所畫的圖形：過點(diǎn)P作PN∥EF交AB于點(diǎn)N，再由平行線的性質(zhì)得出∠EFG=∠NPG，根據(jù)∠1的度數(shù)得出∠2的度數(shù)，根據(jù)EF⊥AB得出∠2=90°，再由PN∥EF，AB∥CD即可得出結(jié)論．

解答 解：方法一，選擇乙同學(xué)所畫的圖形：
輔助線：過點(diǎn)P作PN∥EF交AB于點(diǎn)N，
分析思路：（1）欲求∠EFG的度數(shù)，由輔助線作圖可知，∠EFG=∠NPG，因此，只需轉(zhuǎn)化為求∠NPG的度數(shù)；
（2）欲求∠NPG的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求∠1和∠2的度數(shù)；
（3）又已知∠1的度數(shù)，所以只需求出∠2的度數(shù)；
（4）由已知EF⊥AB，可得∠4=90°；
（5）由PN∥EF，可推出∠3=∠4；AB∥CD可推出∠2=∠3，由此可推∠2=∠4，
所以可得∠2的度數(shù)；
（6）從而可以求出∠EFG的度數(shù)．
方法二，選擇丙同學(xué)所畫的圖形：
輔助線：過點(diǎn)O作ON∥FG交CD于點(diǎn)N，
分析思路：（1）欲求∠EFG的度數(shù)，由輔助線作圖可知，∠EFG=∠EON，
因此只需轉(zhuǎn)化為求∠EON的度數(shù)；
（2）欲求∠EON的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求∠2和∠3的度數(shù)；
（3）由已知EF⊥AB，可得∠3=90°；
（4）由AB∥CD，可推出∠2=∠4，由ON∥FG可推出∠4=∠1，由此可推∠2=∠1，又已知∠1的度數(shù)可求出∠2的度數(shù)； 
（5）從而可求∠EFG的度數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線，利用平行線的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．