Question

已知x和y是正整數(shù)，且滿足條件xy＋x＋y＝71，x²y＋xy²＝880，求x²＋y²的值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：設(shè)a＝x＋y，b＝xy，于是

　　a＋b＝71，ab＝880，

　　構(gòu)造以a、^b為二根的一元二次方程

　　t²－71t＋880＝0，

　　解得t=16或t=55，

　　∴a＝16，b＝55或a＝55，b＝16，

　　即x＋y＝16，xy＝55或x＋y＝55，x·y＝16，

　　于是x、y為一元二次方程

　　m²－16m＋55＝0①或n²－55n＋16＝0②的兩個(gè)正整數(shù)根，

　　解①得m＝5或m＝11，

　　即x＝5，y＝11或x＝11，y＝5

　　方程②無(wú)整數(shù)解．

　　∴x²＋y²＝5²(或11²)＋11²(或5²)＝146．

　　分析：直接不易求出x、y的值．但經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)已知二等式分別為xy與x＋y的和，xy與x＋y的積，先換元構(gòu)造一元二次方程，整體求得x＋y、xy，再構(gòu)造以x、y為根的一元二次方程，解出x、y，問(wèn)題便可獲解．

　　點(diǎn)評(píng)：巧妙換元，創(chuàng)造了構(gòu)造一元二次方程的條件，為解題打開(kāi)了方便之門(mén)．