Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x﹣1與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A、B，以x=﹣1為對(duì)稱軸的拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、C，直線x=﹣1與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)Q在第三象限內(nèi)，且tan∠AQD=2，線段CQ是否存在最小值，如果存在直接寫(xiě)出最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）存在；點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）或（-，-）；

（3）存在，CQ最小值為.

【解析】

（1）根據(jù)直線y=﹣x﹣1易求得A點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫(xiě)出拋物線的交點(diǎn)式即可；

（2）根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a﹣1），分△AOB∽△APD和△AOB∽△APD兩種情況，第一種情況直接根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果，第二種情況先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則△APE∽△PED，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果；

（3）如圖，取點(diǎn)F（﹣1，﹣1），過(guò)點(diǎn)ADF作圓，則點(diǎn)E（﹣2，﹣）為圓心，因?yàn)?/span>tan∠AFD=2，

則連CE交⊙E于點(diǎn)Q，則CQ為滿足條件的最小值，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求得CE的長(zhǎng)，然后減去圓的半徑即可得解.

（1）∵直線y=﹣x﹣1與x軸交于A點(diǎn)，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，0），

又∵直線x=﹣1為對(duì)稱軸，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），

∴拋物線解析式為：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；

（2）存在；

由已知，點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣1），

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a﹣1），

①當(dāng)△AOB∽△ADP時(shí)，

，即，

解得：a=﹣1；

點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）；

②當(dāng)△AOB∽△APD時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，

則△APE∽△PED，

∴PE2=AEED，

∴（﹣a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），

解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，﹣）；

（3）存在，CQ最小值為；

如圖，取點(diǎn)F（﹣1，﹣1），過(guò)點(diǎn)ADF作圓，則點(diǎn)E（﹣2，﹣）為圓心，

∵tan∠AFD=2，

∴弧AFD（A、D除外）上的點(diǎn)都是滿足條件的Q點(diǎn)，

則連CE交⊙E于點(diǎn)Q，則CQ為滿足條件的最小值，

此時(shí)CE=，

∵⊙E半徑為，

∴CQ最小值為.