Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+4在坐標系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A（﹣1，0），B，P是其對稱軸x=1上的動點，根據圖中提供的信息，得出以下結論：

①2a+b=0，

②x=3是方程ax2+bx+4=0的一個根，

③△PAB周長的最小值是5+，

④9a+4＜3b．

其中正確的是（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：①根據對稱軸方程求得a、b的數量關系；

②根據拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標是3；

③利用兩點間直線最短來求△PAB周長的最小值；

④根據圖象知，當x=﹣3時，y＜0，得到9a﹣3b+4＜0，即9a+4＜3b．

解：①根據圖象知，對稱軸是直線x=﹣=1，則b=﹣2a，即2a+b=0．

故①正確；

②根據圖象知，點A的坐標是（﹣1，0），對稱軸是x=1，則根據拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一個根，故②正確；

③如圖所示，點A關于x=1對稱的點是A′，即拋物線與x軸的另一個交點．

連接BA′與直線x=1的交點即為點P，

則△PAB周長的最小值是（BA′+AB）的長度．

∵A（﹣1，0），B（0，4），A′（3，0），

∴AB=，BA′=5．即△PAB周長的最小值是5+．

故③正確；

④根據圖象知，當x=﹣3時，y＜0，

∴9a﹣3b+4＜0，即9a+4＜3b，

故④正確．

綜上所述，正確的結論是：①②③④．

故選D．