Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D．以AB上一點(diǎn)O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D．

（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若AC = 3，∠B = 30°．

①求⊙O的半徑；

②設(shè)⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)和）

Answer 1

解：（1）直線BC與⊙O相切；……………………1分

連結(jié)OD，………………………………………2分

∵OA = OD  ∴∠OAD = ∠ODA

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D

∴∠CAD = ∠OAD

∴∠CAD = ∠ODA

∴OD∥AC      ……………………………………3分

∴∠ODB = ∠C = 90°

即OD⊥BC． ………………………………………………………………………………4分

∴直線BC與⊙O相切．

（2）①設(shè)OA = OD = r，在Rt△BDO中，∠B = 30°，

∴OB = 2r    ………………………………………………………………………………5分

在Rt△ACB中，∠B = 30°

∴AB = 2AC = 6

∴3r = 6    …………………………………………………………………………………6分

解得r = 2．           ……………………………………………………………………7分

②在Rt△ACB中，∠B = 30°，

∴∠BOD = 60°．  …………………………………………………………………………8分∴S_扇形ODE=． ……………………………………………………………9分

∴所求圖形面積為：S_△BOD- S_扇形ODE ．……………………………………10分