Question

20．如圖，四邊形ABCD中，∠ADB=30°，AB∥CD，BD=BC，AC=CD，求證：∠DBC=90°．

Answer 1

分析 過A作AE⊥CD交CD于點E，過B作BF⊥CD交CD于點F，則AE∥BF，由DC∥AB易得AE=BF，由BD=BC，BF⊥CD，CD=AC，利用等腰三角形的“三線合一”可得DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}AC$，由平行線的性質和30°直角三角形的性質可得AE=$\frac{1}{2}$AC，易得AE=DF，可得BF=DF，有三角形的內角和定理和等腰三角形的性質可得∠BDC=45°，易得結論．

解答 證明：過A作AE⊥CD交CD于點E，過B作BF⊥CD交CD于點F，則AE∥BF，
∵DC∥AB，
∴AE=BF；
∵BD=BC，BF⊥CD，CD=AC，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}AC$，
∵∠ADB=30°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=DF，
∴BF=DF，
∴∠FBD=∠BDF=45°，
∴∠BCD=45°，
∴∠CBD=90°．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質，30°直角三角形的性質，平行線之間的距離處處相等的性質和三角形內角和定理，準確作出輔助線是解題的關鍵．