Question

如圖：△AOB是直角邊長為4的等腰三角形，C在OA上且OC=3，P是線段AB上的動點．當(dāng)OP+CP最小時，（1）求出OP+CP的最小值．（2）求此時P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先作C點關(guān)于AB的對稱點C′，連接OC′、AC′，由兩點之間線段最短可知OC′即為OP+CP的最小值，由對稱的性質(zhì)可知△AOC′是直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）由OC′的長可求出C′點的坐標(biāo)，根據(jù)△AOB是直角邊長為4的等腰三角形可求出A、B兩點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法分別求出過A、B及過O、C兩點的一次函數(shù)解析式，求出其交點坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）作C點關(guān)于AB的對稱點C′，連接OC′、AC′，由兩點之間線段最短可知OC′即為OP+CP的最小值，
∵C′是C關(guān)于AB的對稱點，
∴AC=AC′=1，∠CAB=∠C′AB=45°，
∴∠CAC′=90°，
∵OA=4，AC′=1，
∴OC′=

OA2+AC′2

=

42+12

=

17

；

（2）∵OC′=

17

，OA=4，AC′=1，
∴C′點的坐標(biāo)為：（4，1），
∴設(shè)過O、C′兩點的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0），即k=

1

4

，
∴此一次函數(shù)的解析式為y=

1

4

x；
∵△AOB是直角邊長為4的等腰三角形，
∴A（0，4）、B（4，0），
設(shè)過A、B兩點的一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

4=b 0=4k+b

，解得k=-1，b=4，
∴此一次函數(shù)的解析式為y=-x+4，
∴

y=4x y=-x+4

，解得x=

16

5

，y=

4

5

，
∴P點坐標(biāo)為（

16

5

，

4

5

）．
故答案為：

17

，（

16

5

，

4

5

）．

點評：本題考查的是最短線路問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．