Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（2，0）、B（﹣4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點(diǎn)F，G分別在線段BC、AC上．

（I）求拋物線的解析式；

（II）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并指出m的取值范圍；

（III）當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，連接DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使FM=kDF．若點(diǎn)M在拋物線上，求k的值．

Answer 1

【答案】（I）y=x2+x﹣4；（II）S矩形DEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2）；（III）點(diǎn)M在拋物線上，此時(shí)k的值是：k=．

【解析】

(I)用待定系數(shù)法，將A、B的坐標(biāo)代入y=ax2+bx﹣4，即可得到拋物線的解析式；

(II)表示出矩形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵，由△ADG∽△AOC，從而=，得到DG=4-2m，由△BEF∽△BOC，從而=，得到DE=3m，因而得到S與m的函數(shù)關(guān)系式；

(III)當(dāng)矩形的面積s取最大值時(shí)，就是函數(shù)的值是最大值時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出相應(yīng)的m的值，則矩形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出，利用待定系數(shù)法就可以求出直線DF的解析式，便可求出直線DF與拋物線的交點(diǎn)M坐標(biāo)，過(guò)M作x軸的垂線交x軸于H，有△OEF∽△OHM，則根據(jù)FM=kDF，即k==，便可求出k的值.

（I）∵拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（2，0）、B（﹣4，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

故拋物線解析式為：y=x2+x﹣4；

（II）由題意，=，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，

故DG=4﹣2m，

又=，EF=DG，得BE=4﹣2m，

∴DE=3m，

∴S矩形DEFG=DGDE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2）．

（III）∵S矩形DEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2），

∴m=1時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積是6．

當(dāng)矩形面積最大時(shí)，其頂點(diǎn)為D（1，0），G（1，﹣2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），E（﹣2，0），

設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，

則，

解得；，

∴y=x﹣，

又拋物線P的解析式為：y=x2+x﹣4，

令x﹣=x2+x﹣4，可求出x=

設(shè)射線DF與拋物線P相交于點(diǎn)M，則M的橫坐標(biāo)為，

過(guò)M作x軸的垂線交x軸于H，

有k====，

點(diǎn)M在拋物線上，此時(shí)k的值是：k=．

故答案為：（I）y=x2+x﹣4；（II）S矩形DEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2）；（III）點(diǎn)M在拋物線上，此時(shí)k的值是：k=．