Question

如圖，是反比例函數y=-

2

x

和y=-

8

x

在第二象限中的圖象，A是反比例函數y=-

8

x

的圖象上，且A點的橫坐標為m（m＜0），AB．CD均平行于x軸，AC平行于y軸．   
（1）用m表示A、B、C、D的坐標； 
（2）求證：梯形ABCD的面積是定值； 
（3）若△ABC和△ACD相似，求m的值．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）根據點A與B、C與D的縱坐標相等以及反比例函數圖象上點的坐標特征進行解答；
（2）根據點A、B、C、D的坐標求得相關線段的長度，利用梯形的面積公式進行解答；
（3）需要分類討論：△ABC∽△CDA，△ABC∽△CDA，由相似三角形的對應邊成比例來求m的值．

解答：解：（1）∵A點的橫坐標為m（m＜0），且點A在反比例函數y=-

8

x

的圖象上，
∴y=-

8

m

，
即A（m，-

8

m

）．
∵AB∥x軸，
∴點B的縱坐標為-

8

m

，點C的橫坐標為m，
∴-

8

m

=-

2

x

，y=-

2

m

，
解得：x=

m

4

，
∴點B（

m

4

，-

8

m

），點C（m，-

2

m

），
∴點D的縱坐標為：-

2

m

，
∴-

2

m

=-

8

x

，
解得：x=4m，
∴點D的坐標為：（4m，-

2

m

）；

（2）證明：∵AB=

m

4

-m=-

3

4

m，CD=m-4m=-3m，AC=-

8

m

-（-

2

m

）=-

6

m

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•AC=

1

2

×（-

3

4

m-3m）×（-

6

m

）=

45

4

；
∴梯形ABCD的面積是定值；

（3）∵∠BAC=∠ACD=90°，
①當

AB

AC

=

AC

CD

時，△ABC∽△CAD，
∴

- 3 4 m

- 6 m

=

- 6 m

-3m

，
解得：m=±2，
∵m＜0，
∴m=-2，
②當

AB

CD

=

AC

AC

，即AB=CD時，△ABC∽△CDA，
∴-

3

4

m=-3m，
此時無解．
∴若△ABC和△ACD相似，則m=-2．

點評：此題屬于反比例函數綜合題，考查了反比例函數的性質、梯形的性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．