【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直線AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE.

(1)求證:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
(3)如圖2,若P為線段EC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作△AEC的內(nèi)接矩形,使其頂點(diǎn)Q落在線段AE上,定點(diǎn)M、N落在線段AC上,當(dāng)線段PE的長(zhǎng)為何值時(shí),矩形PQMN的面積最大?并求出其最大值.

【答案】
(1)

證明:由矩形和翻折的性質(zhì)可知:AD=CE,DC=EA,

在△ADE與△CED中,

∴△DEC≌△EDA(SSS)


(2)

解:如圖1,

∵∠ACD=∠BAC,∠BAC=∠CAE,

∴∠ACD=∠CAE,

∴AF=CF,

設(shè)DF=x,則AF=CF=4﹣x,

在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,

即32+x2=(4﹣x)2,

解得:x=

即DF=


(3)

解:如圖2,由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA

又∵CE=3,AC= =5

設(shè)PE=x(0<x<3),則 ,即PQ=

過E作EG⊥AC于G,則PN∥EG,

又∵在Rt△AEC中,EGAC=AECE,解得EG=

= ,即PN= (3﹣x),

設(shè)矩形PQMN的面積為S,

則S=PQPN=﹣ x2+4x=﹣ +3(0<x<3)

所以當(dāng)x= ,即PE= 時(shí),矩形PQMN的面積最大,最大面積為3.


【解析】(1)由矩形和翻折的性質(zhì)可知AD=CE,DC=EA,根據(jù)“SSS”可求得△DEC≌△EDA;(2)根據(jù)勾股定理即可求得.(3)由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA,所以 ,從而求得PQ,由PN∥EG,得出 ,求得PN,然后根據(jù)矩形的面積公式求得解析式,即可求得.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等.

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(1)求m,k的值;
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∴DG∥AC(

∴∠2=

∵∠1=∠2(已知)

∴∠1=∠ (等量代換)

∴EF∥CD(

∴∠AEF=∠

∵EF⊥AB(已知)

∴∠AEF=90°(

∴∠ADC=90°(

∴CD⊥AB(

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