Question

14．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，O為AC、BD的中點，AB=10，AC=16，BD=12．
（1）四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請證明；
（2）點P在AO上，點Q在DO上，且AP=2OQ．若PQ=BQ，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)O為AC、BD的中點，可得出四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)AC=16、BD=12即可得出OA、OB的長度，再結(jié)合AB=10即可得出AO²+BO²=AB²，從而得出∠AOB=90°，進(jìn)而可證出四邊形ABCD是菱形；
（2）設(shè)OQ=x，則AP=2x，OP=8-2x，BQ=6+x．根據(jù)勾股定理可得出PQ的長度，結(jié)合PQ=BQ即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）四邊形ABCD是菱形．
∵O為AC、BD的中點，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=8，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6．
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
∵AO²+BO²=100，AB²=100．
∴AO²+BO²=AB²．
∴∠AOB=90°．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠AOB=90°，
∴四邊形ABCD是菱形．
（2）設(shè)OQ=x，則AP=2x，OP=8-2x，BQ=6+x．
∵∠POQ=90°，
∴PQ²=OP²+OQ²，
又∵PQ=BQ，
∴PQ²=BQ²，
∴（6+x）²=（8-2x）²+x²，
解得：${x_1}=\frac{{11+\sqrt{93}}}{2}，{x_2}=\frac{{11-\sqrt{93}}}{2}$．
又∵8＞x＞0，
∴AP=2x=11-$\sqrt{93}$．

點評 本題考查了菱形的判定、勾股定理以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握菱形的判定定理；（2）根據(jù)線段間的關(guān)系找出關(guān)于x的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，熟練掌握菱形的判定定理是關(guān)鍵．