Question

9．如圖，已知在△ABC中，∠BAC的平分線與線段BC的垂直平分線PQ相交于點P，過點P分別作PN垂直于AB于點N，PM垂直于AC于點M，BN和CM有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

分析 連接PB、PC，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PM=PN，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得PC=PB，然后利用“HL”證明Rt△PMC和Rt△PNB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．

解答 證明：如圖，連接PB，PC，
∵AP是∠BAC的平分線，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵P在BC的垂直平分線上，
∴PC=PB，
在Rt△PMC和Rt△PNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PB}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．