【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現
如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點C旋轉,當點D恰好落在AB邊上時,填空:
①線段DE與AC的位置關系是_________;
②設△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數量關系是____________.
(2)猜想論證
當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1與S2的數量關系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,點D是其角平分線上一點,BD=CD=4,DE//AB交BC于點E(如圖4).若在射線BA上存在點F,使,請直接寫出相應的BF的長.
【答案】(1)①DE∥AC;②S1=S2;(2)證明見解析;(3)BF的長為或.
【解析】試題分析:(1)①根據旋轉的性質可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°,然后根據內錯角相等,兩直線平行解答;
②根據等邊三角形的性質可得AC=AD,再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離,然后根據等底等高的三角形的面積相等解答;
(2)根據旋轉的性質可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等,根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;
(3)過點D作DF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據菱形的對邊相等可得BE=DF1,然后根據等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點,過點D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等,根據全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點,然后在等腰△BDE中求出BE的長,即可得解.
解:(1)①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,
∴△ACD是等邊三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°,∠C=90°,
∴CD=AC=AB,
∴BD=AD=AC,
根據等邊三角形的性質,△ACD的邊AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
故答案為:DE∥AC;S1=S2;
(2)如圖,∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
(3)如圖,過點D作DF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此時S△DCF1=S△BDE;
過點D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°,F1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,
∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
∴△DF1F2是等邊三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°,
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴點F2也是所求的點,
∵∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,
又∵BD=4,
∴BE=×4÷cos30°=2÷=,
∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,
故BF的長為或.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AC,垂足為E,BF∥AC交ED的延長線于點F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2EC,給出下列四個結論:
①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AB=3BF,其中正確的結論共有
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知一次函數 y=kx+4(k≠0).
(1)當 x=-1 時,y=2,求此函數的表達式;
(2)函數圖象與 x 軸、y 軸的交點分別為 A、B, 求出△AOB 的面積;
(3)利用圖象求出當 y≤3 時,x 的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時相向而行,經過3小時后相距3千米,再經過2小時,甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍,試求甲、乙兩人的速度.
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