Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（4，3），O（0，0），B（6，0）．點M是OB邊上異于O，B的一動點，過點M作MN∥AB，點P是AB邊上的任意點，連接AM，PM，PN，BN．設(shè)點M（x，0），△PMN的面積為S．
（1）求出OA所在直線的解析式，并求出點M的坐標(biāo)為（1，0）時，點N的坐標(biāo)；
（2）求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）若S：S_△ANB=2：3時，求出此時N點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,平行線的性質(zhì),相似三角形的應(yīng)用

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）作AG⊥OB于G，NH⊥OB于H，利用勾股定理先求得AG的長，然后根據(jù)三角形相似求得NH：AG=OM：OB，得出NH的長，因為△MBN的面積=△PMN的面積=S，即可求得S與x的關(guān)系式．
（3）因為△AMB的面積=△ANB的面積=S_△ANB，△NMB的面積=△NMP的面積=S，所以NH：AG=2：3，因為ON：OA=NH：AG，OM：OB=ON：OA，所以O(shè)M：OB=ON：OA=2：3，進而求得M點的坐標(biāo)，求得MN的解析式，然后求得直線MN與直線OA的交點即可．

解答：解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=k₁x，
∵A（4，3），
∴3=4k₁，
解得k₁=

3

4

，
∴OA所在的直線的解析式為：y=

3

4

x，
同理可求得直線AB的解析式為；y=-

3

2

x+9，
∵MN∥AB，
∴設(shè)直線MN的解析式為y=-

3

2

x+b，把M（1，0）代入
得：b=

3

2

，
∴直線MN的解析式為y=-

3

2

x+

3

2

，
解

y= 3 4 x y=- 3 2 x+ 3 2

，
得

x= 2 3 y= 1 2

，
∴N（

2

3

，

1

2

）．

（2）如圖2，作NH⊥OB于H，AG⊥OB于G，則AG=3．
∵MN∥AB，
∴△MBN的面積=△PMN的面積=S，
∴△OMN∽△OBA，
∴NH：AG=OM：OB，
∴NH：3=x：6，即NH=

1

2

x，
∴S=

1

2

MB•NH=

1

2

×（6-x）×

1

2

x=-

1

4

（x-3）²+

9

4

（0＜x＜6），
∴當(dāng)x=3時，S有最大值，最大值為

9

4

．

（3）如圖2，∵MN∥AB，
∴△AMB的面積=△ANB的面積=S_△ANB，△NMB的面積=△NMP的面積=S
∵S：S_△ANB=2：3，
∴

1

2

MB•NH：

1

2

MB•AG=2：3，即NH：AG=2：3，
∴ON：OA=NH：AG=2：3，
∵MN∥AB，
∴OM：OB=ON：OA=2：3，
∵OA=6，
∴

OM

6

=

2

3

，
∴OM=4，
∴M（4，0）
∵直線AB的解析式為；y=-

3

2

x+9，
∴設(shè)直線MN的解析式y(tǒng)=-

3

2

x+b
把點M代入得：0=-

3

2

×4+b，
解得b=6，
∴直線MN的解析式為y=-

3

2

x+6，
解

y= 3 4 x y=- 3 2 x+6

，
得

x= 8 3 y=2

，
∴N（

8

3

，2）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，直線平行的性質(zhì)，三角形相似判定及性質(zhì)，同底等高的三角形面積相等等，相等面積的三角形的轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵．