Question

問題提出
平面內(nèi)不在同一條直線上的三點確定一個面，那么平面內(nèi)的四點（任意三點均不在同一直線上），能否在同一個面上呢？
初步思考
設(shè)不在同一條直線上的三點A、B、C確定的圓為⊙O．
（1）當(dāng)C、D在線段AB的同側(cè)時．

如圖①，若點D在⊙O上，此時有∠ACB=∠ADB，理由是

 

．
如圖②，若點D在⊙O內(nèi)，此時有∠ACB

 

∠ADB；
如圖③，若點D在⊙O外，此時有∠ACB

 

∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，請直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：

 

．
類比學(xué)習(xí)
（2）仿照上面的探究思路，請?zhí)骄浚寒?dāng)C、D在線段AB的異側(cè)時的情形．

    由上面的探究，請用文字語言直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：

 

．
拓展延伸
（3）如何過圓上一點，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？
已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，求作：CN⊥AB
作法：①連接CA、CB
②在CB上任取異于B、C的一點D，連接DA，DB；
③DA與CB相交于E點，延長AC、BD，交于F點；
④連接F、E并延長，交直徑AB與M；
⑤連接D、M并延長，交⊙O于N，連接CN，則CN⊥AB．
請安上述作法在圖④中作圖，并說明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的結(jié)論）

Answer 1

考點：圓的綜合題,平行線的判定與性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),圓周角定理

專題：作圖題,探究型

分析：（1）∠ACB=∠ADB的依據(jù)是：同弧所對的圓周角相等．利用圓周角定理及三角形的外角性質(zhì)，即可得到圓外角、圓周角、圓內(nèi)角三者之間的關(guān)系，進(jìn)而得到四點共圓的判定方法．
（2）利用圓周角的度數(shù)與所對弧的度數(shù)的關(guān)系即可得到∠ACB+∠ADB=180°；再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，即可得到點D在圓內(nèi)、圓外時∠ACB+∠ADB與180°的大小關(guān)系，進(jìn)而得到四點共圓的判定方法．
（3）由（2）中的結(jié)論可證到：點E、D、B、M在同一個圓上，從而有∠EMD=∠EBD．由∠CND=∠CBD可證到CN∥EM，進(jìn)而可證到CN⊥AB．

解答：解：（1）①如圖①，根據(jù)“同弧所對的圓周角相等”得∠ACB=∠ADB．
②如圖②，延長BD交⊙O于點E，
∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB
∴∠ACB＜∠ADB．
③如圖③，連接AF，
∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB
∴∠ACB＞∠ADB．
故答案為：同弧所對的圓周角相等、＜、＞、
當(dāng)C、D在線段AB的同側(cè)且∠ACB=∠ADB時，A、B、C、D四點在同一個圓上．
（2）①如圖④，
∵

AB

與

ACB

的度數(shù)之和等于360°，
且∠ADB的度數(shù)等于

ACB

度數(shù)的一半，
∠ACB的度數(shù)等于

AB

度數(shù)的一半，
∴∠ACB+∠ADB=180°．
②如圖⑤，延長AD交⊙O于點E，連接BE，
∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＞180°．
③如圖⑥，連接BF，
∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＜180°．
故答案為：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．
當(dāng)C、D在線段AB的異側(cè)且∠ACB+∠ADB=180°時，A、B、C、D四點在同一個圓上．
（3）圖⑦即為所求作．
∵AB是⊙0的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，
∴根據(jù)三角形的三條高交于同一點可得：FM⊥AB．
∴∠EMB=90°．
∴∠EMB+∠EDB=180°．
∴由（2）中的結(jié)論可得：點E、D、B、M在同一個圓上，如圖⑦所示．
∴∠EMD=∠EBD．
∵∠CND=∠CBD，
∴∠CND=∠EMD．
∴CN∥EM．
∴∠CHB=∠EMB．
∵∠EMB=90°，
∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．

點評：本題考查了圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角的度數(shù)與所對弧的度數(shù)之間的關(guān)系等知識，考查了操作與探究的能力，考查了運用已有的經(jīng)驗解決問題的能力，是一條體現(xiàn)新課程理念的好題．