Question

如圖，已知在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=

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，AH⊥BC，垂足為H．∠ABC的平分線交AH于點M，點P為BC邊上的動點（不與B、C重合）連接MC、MP．
①求CH的長；
②設(shè)BP=x，S_△MPC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
③當(dāng)△MPC為以MC為腰的等腰三角形時，求BP的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理直接列出方程求解；
（2）首先求出MH的長，表示出PC的長，進而求出△MPC的面積；
（3）運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，按MP為等腰三角形的腰或底，分兩種情況求出PC的長，進而求出BP的長．

解答：解：（1）設(shè)CH=x，則BH=4-x；
∵AH⊥BC，∴AB²-BH²=AH²，AC²-CH²=AH²，
故AB²-BH²=AC²-CH²，即52-(4-x)2=(

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)2-x2，
化簡整理得：8x=8，x=1；
故CH的長為1；

（2）由（1）知CH=1，故BH=4-1=3；
∵AH²=AB²-BH²=5²-3²=16，
∴AH=4，
∵∠ABC的平分線交AH于點M，
∴

AB

BH

=

AM

MH

，
而AB=5，BH=4-1=3，AM=4-MH，
∴

5

3

=

4-MH

MH

，解得MH=

3

2

；
∵BP=x，
∴CP=4-x，S△MPC=

1

2

PC•MH=

1

2

(4-x)×

3

2

，
即y=-

3

4

x+3，0≤x＜4；

（3）當(dāng)△MPC為以MC為腰的等腰三角形時，
若MP為腰，
∵MH⊥PC，
∴PH=HC=1，
BP=4-2=2；
若MP為底時，PC=MC；
∵MC=

12+( 3 2 )2

=

1+ 9 4

=

13 4

=

13

2

，∴BP=BC-PC=4-

13

2

∴當(dāng)△MPC為以MC為腰的等腰三角形時，BP的長為2或4-

13

2

．

點評：該題主要考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；同時還滲透了對等腰三角形的定義等知識的考查，對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．