Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E，且DC²=CE•CA．
（1）求證：BC=CD；
（2）分別延長AB，DC交于點(diǎn)P，若PB=OB，CD=2

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：計算題

分析：（1）由DC²=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根據(jù)圓周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC；
（2）連結(jié)OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，先證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到

PC

CD

=

PO

OA

=2，則PC=2CD=4

2

，然后證明△PCB∽△PAD，利用相似比得到

4 2

3r

=

r

6 2

，再利用比例的性質(zhì)可計算出r的值．

解答：（1）證明：∵DC²=CE•CA，
∴

DC

CE

=

CA

DC

，
而∠ACD=∠DCE，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC；
（2）解：連結(jié)OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵CD=CB，
∴

CD

=

CB

，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴

PC

CD

=

PO

OA

=

2r

r

=2，
∴PC=2CD=4

2

，
∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴

PC

PA

=

PB

PD

，即

4 2

3r

=

r

6 2

，
∴r=4，
即⊙O的半徑為4．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時需要綜合運(yùn)用，無論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．也考查了圓周角定理．