Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)P在x軸上，與y軸相交于點(diǎn)A．

Ⅰ求點(diǎn)A的縱坐標(biāo)用含b的式子表示；

Ⅱ當(dāng)時(shí)，y有最大值9，求b的值；

Ⅲ點(diǎn)B在拋物線上，且，連接AB，交對(duì)稱軸于點(diǎn)C．

求證：PC為定長(zhǎng)；

直接寫出面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（2）或；（3）為定長(zhǎng)1；面積的最小值為1．

【解析】

由拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式可得出，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，此問得解；

分及兩種情況考慮，若，則當(dāng)時(shí)y取最大值，進(jìn)而可得出關(guān)于b的一元二次方程，解之可求出b值；若，則當(dāng)時(shí)y取最大值，進(jìn)而可得出關(guān)于b的一元二次方程，解之可求出b值綜上即可得出結(jié)論；

作軸于點(diǎn)D，則∽，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，結(jié)合點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，即可得出，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出；

由、可得出，根據(jù)三角形的面積公式可得出，利用完全平方公式可得出，此題得解．

解：Ⅰ拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，

，

，

拋物線．

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為．

Ⅱ若，則當(dāng)時(shí)，，

或舍去；

若，則當(dāng)時(shí)，，

或舍去．

綜上所述，或．

Ⅲ作軸于點(diǎn)D，如圖所示．

，，

，，

．

又，

∽，

，

．

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

，，

，，，，

．

，，

，

，即．

由，，可得直線AB解析式為．

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

為定長(zhǎng)1．

，，

，

，

面積的最小值為1．