Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線ybx+c，經(jīng)過點(diǎn)A（1，3）、B（0，1），過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C

（1）求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，點(diǎn)G是BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H、作GE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過程中，△GFH的周長(zhǎng)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，過A點(diǎn)的直線垂直x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N為直線AM上任意一點(diǎn)，當(dāng)△BCN為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）見解析;（3）（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（1，9）.

【解析】

（1）中由待定系數(shù)法即可求解；

（2）先由題意求出點(diǎn)C（4，3），得出直線BC的方程為y=x+1，求出BC=2，又根據(jù)△BCI∽△FGH得出∠BCI=∠FGH，從而tan∠BCI=tan∠FGH=，G(x，x2+x+1)，則F(x，x+1)得出GF= (x2)2+2，所以可得當(dāng)x=2時(shí)，GF最長(zhǎng)，此時(shí)△GFH周長(zhǎng)最大．由相似比及正切函數(shù)的性質(zhì)即可求得△GFH的周長(zhǎng)為：GF+FH+GH=2++2；

（3）設(shè)N（1，n）由已知B（0，1），C（4，3）可求出BN2=12+（n-1）2=n2-2n+2，CN2=32+（n-3）2=n2-6n+18，BC2=42+22=20，分三種性況討論：當(dāng)∠BNC=90°時(shí)，BN2+CN2=BC2，得n1=0，n2=4；當(dāng)∠CBN=90°時(shí)，BN2+BC2=CN2，得n3=-1當(dāng)∠BCN=90°時(shí)，BC2+CN2=BN2，得n4=9最后得N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，0）或（1，4）或（1，-1）或（1，9）．

（1）∵拋物線ybx+c，經(jīng)過點(diǎn)A（1，3）、B（0，1），

∴ 解得：，c=1

∴拋物線的表達(dá)式為：

∵，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；

（2）∵A（1，3），∴把y=3代入，可得x1=1，x，2=4

∴C（4，3）

由B（0，1）、C（4，3）

得直線BC的表達(dá)式為，BC

延長(zhǎng)CA與y軸交于點(diǎn)I，則I（0，3）

∵點(diǎn)G是BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H、作GE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，

∴△BCI∽△FGH

∴∠BCI=∠FGH

∵tan∠BCI，

∴tan∠FGH

設(shè)，則

∴GF

∴當(dāng)x=2時(shí)，GF最長(zhǎng)，此時(shí)△GFH周長(zhǎng)最大．

∴GF=2

∵

∴

∴GH

△GFH的周長(zhǎng)為：GF+FH+GH=22；

（3）如圖2，由題意，設(shè)N（1，n）

∵B（0，1）、C（4，3）

∴BN2=12+（n﹣1）2=n2﹣2n+2，

CN2=32+（n﹣3）2=n2﹣6n+18，

BC2=42+22=20

當(dāng)∠BNC=90°時(shí)，BN2+CN2=BC2，即（n2﹣2n+2）+（n2﹣6n+18）=20

得n1=0，n2=4；

當(dāng)∠CBN=90°時(shí)，BN2+BC2=CN2，即（n2﹣2n+2）+20=n2﹣6n+18

得n3=﹣1

當(dāng)∠BCN=90°時(shí)，BC2+CN2=BN2，即20+n2﹣6n+18=n2﹣2n+2

得n4=9

綜上所述：N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（1，9）