Question

如圖，在直角坐標系中，Rt△AOB的頂點坐標分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB繞點O逆時針方向旋轉90°得到△COD（A點轉到C點位置），拋物線y=ax²+bx+c經過C、D、B三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為P，求△PAB的面積；
（3）在拋物線上是否存在一點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積，若存在，請寫出M點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△AOB中，根據B，A的坐標就可以求得OB，OA的長，進而求的OC，OD的長，則C，D，B的坐標就可以求出來．根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（2）已知拋物線的解析式，就可以求出P的坐標，S_△PAB=S_{四邊形PAOB}-S_△AOB=S_{四邊形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB就可以求出△PAB的面積．
（3）△MBC的底邊BC的長度易得，BC邊上的高線長就是M的縱坐標的絕對值，設M的縱坐標是y，根據三角形的面積公式就可以得到一個關于y的方程，求出y的值，即得到函數的縱坐標，就可以求出函數的橫坐標．

解答：解：（1）由題意知C（-2，0），D（0，4）
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c
當x=0時，y=4，
∴c=4
4a-2b+4=0解之，
得a=-

1

2

16a+4b+4=0，
把a=-

1

2

代入，解得b=1
∴y=-

1

2

x²+x+4．（5分）

（2）y=-

1

2

（x-1）²+4

1

2

∴P（1，4

1

2

）
連接PA、PB，作PE⊥y軸于E
則S_△PAB=S_{四邊形PAOB}-S_△AOB
=S_{四邊形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB
=6．（5分）

（3）設存在M點，其坐標為M（x，y）
則

1

2

|y|×6=6，
∴y=±2
當y=2時，-

1

2

x²+x+4=2，
解之，得x₁=1+

5

，x₂=1-

5

當y=-2時，-

1

2

x²+x+4=-2，
解之，得x₁=1+

13

，x₂=1-

13

故存在點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積，其坐標為：
M₁（1+

5

，2），M₂（1-

5

，2），
M₃（1+

13

，-2），M₄（1-

13

，-2）．（4分）

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，是二次函數與三角形的面積的綜合題．