Question

如圖，△ABC的內切圓I分別切BC、AC于點M、N，點E、F分別為邊AB、AC的中點，D是直線EF與BI的交點．證明：M、N、D三點共線．

Answer 1

考點：四點共圓,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：連接AD，IA，IC，IM，IN，連結MD交AC于G，連結IG，利用三角形中線性質得到EF∥BC，則∠2=∠3，由⊙I為△ABC的內切圓，根據切線長定理得∠1=∠2，代換得到∠1=∠3，則EB=ED，即AE=BE=ED，根據直角三角形的判定方法得到△ABD為直角三角形，易證得Rt△BAD∽Rt△BIM，得到

AB

BI

=

BD

BM

，變形得

AB

BD

=

BI

BM

，根據三角形相似的判定方法可得到△BAI∽△BDM，則∠AIB=DMB，又由于點I為△ABC的內心，根據內心的性質得∠AIB=90°+

1

2

∠ACB，所以∠DMB=90°+

1

2

∠ACB，而∠DMB=∠BMI+∠4=90°+∠4，所以∠4=

1

2

∠ACB，易得∠4=∠5，根據四點共圓的判定方法得到I、M、C、G四點共圓，而∠IMC=90°，根據圓內接四邊形的性質得∠IGC=90°，則IG⊥AC，而N為切點，所以N點與G點重合，于是得到M、N、D三點共線．

解答：證明：連接AD，IA，IC，IM，IN，連結MD交AC于G，連結IG，如圖，
∵點E、F分別為邊AB、AC的中點，
∴EF∥BC，
∴∠2=∠3，
∵⊙I為△ABC的內切圓，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴EB=ED，
∴AE=BE=ED，
∴△ABD為直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵IM⊥BC，
而∠1=∠2，
∴Rt△BAD∽Rt△BIM，
∴

AB

BI

=

BD

BM

，
∴

AB

BD

=

BI

BM

，
∴△BAI∽△BDM，
∴∠AIB=∠DMB，
∵點I為△ABC的內心，
∴∠AIB=90°+

1

2

∠ACB，
∴∠DMB=90°+

1

2

∠ACB，
∵∠DMB=∠BMI+∠4=90°+∠4，
∴∠4=

1

2

∠ACB，
∵⊙I為△ABC的內切圓，
∴∠5=∠ICM=

1

2

∠ACB，
∴∠4=∠5，
∴I、M、C、G四點共圓，
∵∠IMC=90°，
∴∠IGC=90°，
∴IG⊥AC，
∴N點與G點重合，
∴M、N、D三點共線．

點評：本題考查了四點共圓：如果線段同側二點到線段兩端點連線的夾角相等，那么這二點和線段二端點四點共圓；圓的內接四邊形的內角互補．也考查了切線長定理、三角形內心的性質以及三角形相似的判定與性質．