Question

已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求證：a=b=c．

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方數(shù)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)已知把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得原式=3x²+2（a+b+c）x+ab+ac+bc，再利用它是完全平方式，故△=0，進(jìn)而得出關(guān)于a，b，c的方程，進(jìn)而求出即可．

解答：證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得
原式=3x²+2（a+b+c）x+ab+ac+bc，
∵它是完全平方式，
∴△=0．
即4（a+b+c）²-12（ab+ac+bc）=0．
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0，
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0．
要使等式成立，必須且只需：

a-b=0 b-c=0 c-a=0

解這個(gè)方程組，得a=b=c．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了完全平方數(shù)以及方程組解法，根據(jù)題意得出關(guān)于a，b，c的方程組是解題關(guān)鍵．