Question

13．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從頂點(diǎn)B出發(fā)，其中點(diǎn)E從點(diǎn)B向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿B-C-A的路線向終點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以EF為邊向上（或向右）作等邊三角形EFG，AH是△ABC中BC邊上的高，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△EFG和△AHC的重合部分面積為S．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段CF的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)G落在AC上時(shí)t的值；
（3）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)E、F出發(fā)的同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿A-H-A以每秒2$\sqrt{3}$單位的速度作循環(huán)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E、F到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出BC=AB=6得出CF=BC-BF=6-2t即可；
（2）由菱形的性質(zhì)和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°，由等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出∠GFE=60°，GF=EF=BF•sin60°=$\sqrt{3}$t，證出∠GEC=90°，由三角函數(shù)求出CF=$\frac{GF}{tan60°}$=t，由BF+CF=BC得出方程，解方程即可；
（3）分兩種情況：①0＜t＜$\frac{3}{2}$時(shí)，S=0；
②當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時(shí)，S=S_△EFG-S_△MEN，即可得出結(jié)果；
③當(dāng)2＜t≤3時(shí)，由①的結(jié)果容易得出結(jié)論；
（4）由題意得出t=$\frac{3}{2}$時(shí)，點(diǎn)P與H重合，E與H重合，得出點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)，t的不等式，解不等式即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：BF=2t，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6，
∴CF=BC-BF=6-2t；
（2）點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵△EFG是等邊三角形，
∴∠GFE=60°，GE=EF=BF•sin60°=$\sqrt{3}$t，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°-60°=30°，
∴∠GFB=90°，
∴∠GFC=90°，
∴CF=$\frac{GF}{tan60°}$$\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}$=t，
∵BF+CF=BC，
∴2t+t=6，
解得：t=2；
（3）分三種情況：
①當(dāng)0＜t≤$\frac{3}{2}$時(shí)，S=0；
②當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時(shí)，如圖2所示，

S=S_△EFG-S_△MEN=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{3}$t）²-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+2$\sqrt{3}$）²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$，
即S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$；
③當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖3所示：

S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）²，
即S=-$\frac{65\sqrt{3}}{24}$t²+$\frac{29\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{33\sqrt{3}}{2}$；
（4）∵AH=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴3$\sqrt{3}$÷2$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴3÷2=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$時(shí)，點(diǎn)P與H重合，E與H重合，
∴點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{3}$＜（t-$\frac{3}{2}$）×2$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}$t-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（2t-3）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2t-3），
解得：$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{12}{5}$；
即：點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)t的取值范圍為：$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果