Question

已知拋物線y=x²+mx-2m²（m≠0）．
（1）求證：該拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，n）作y軸的垂線交該拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)P的左邊），是否存在實(shí)數(shù)m、n，使得AP=2PB？若存在，則求出m、n滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：△=m²-4×1×（-2m²）=9m²，
∵m≠0，∴△＞0，
∴該拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）由題意易知：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程：x²+mx-2m²=n，即x²+mx-（2m²+n）=0
由于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
因此△＞0，即m²-4×1×[-（2m²+n）]＞0?9m²+4n＞0，①
由求根公式可知兩根為：xA=

-m- 9m2+4n

2

，xB=

-m+ 9m2+4n

2

，
∴AB=xB-xA=

-m+ 9m2+4n

2

-

-m- 9m2+4n

2

=

9m2+4n

，
PB=xB-xP=

-m+ 9m2+4n

2

-0=

-m+ 9m2+4n

2

，
分兩種情況討論：
第一種：如圖1，點(diǎn)A在點(diǎn)P左邊，點(diǎn)B在點(diǎn)P的右邊
∵AP=2PB
∴AB=3PB
∴

9m2+4n

=3×

-m+ 9m2+4n

2

?

9m2+4n

=3m．②
∴m＞0．③
由②式可解得n=0．④
第二種：如圖2，點(diǎn)A、B都在點(diǎn)P左邊
∵AP=2PB
∴AB=PB
∴

9m2+4n

=0-

-m+ 9m2+4n

2

?3

9m2+4n

=m．⑤
∴m＞0．⑥
由⑤式可解得n=-

20

9

m²．⑦
綜合①③④⑥⑦可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P存在，此時(shí)m、n應(yīng)滿(mǎn)足條件：m＞0，n=0或n=-

20

9

m²．