Question

如圖：拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（2，0）．與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為3
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用三角形的面積公式求得OC的長度，則易求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組來求系數(shù)的值．即利用待定系數(shù)法來求二次函數(shù)的解析式；
（3）兩個(gè)三角形中的公共邊是線段AB，且線段AB是拋物線以下△PAB中最大的一條邊，那就說明AB邊只能是△PAB的最大邊，然后通過對應(yīng)角相等．P只能是C點(diǎn)的對稱點(diǎn)，且只有一點(diǎn)．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（2，0），
∴AB=3，
∵△ABC的面積為3，
∴

1

2

×3OC=3，即OC=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2）．

（2）∵A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）．
∴代入y=ax²+bx+c，得

0=a-b+c 0=4a+2b+c c=-2

，解得

a=1 b=-1 c=-2

，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．
∵拋物線的解析式為y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴D（

1

2

，-

9

4

）．
又A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），
∴AB=3，AC=

5

，BC=2

2

，AD=BD=

3 13

4

，
∴在△ABC和△ABP中，都是線段AB最長，
∴以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，∠ACB=∠APB，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于x=

1

2

對稱，
則P（1，-2）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)．以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABP不是一個(gè)意思，不能混同．同時(shí)，本題涉及的拋物線是軸對稱圖形，務(wù)請注意．