Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BM，CM的中點(diǎn)．                           

（1）求證：四邊形MENF是菱形；

（2）當(dāng)四邊形MENF是正方形時(shí)，求證：等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形

        ∴AB=CD，∠A=∠D          

        ∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)                                  

      ∴AM=DM  

      ∴△ABM≌△DCM                                  

      ∴BM=CM                                

      ∵點(diǎn)E，F(xiàn)，N分別是BM，CM，BC的中點(diǎn)          

      ∴EN=CM，F(xiàn)N=BM，ME=BM，MF=CM        

      ∴EN=FN=FM=EM

      ∴四邊形MENF是菱形          

（2）     連結(jié)MN             

     

      ∵BM=CM，BN=CN

∴MN⊥BC

 ∵AD∥BC

∴MN⊥AD

∴MN是梯形ABCD的高         

又∵四邊形MENF是正方形

∴△BMC為直角三角形        

又∵N是BC的中點(diǎn)

∴MN=BC                   

即等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半

【解析】（1）根據(jù)等腰梯形的中位線的性質(zhì)求出四邊形四邊相等即可；（2）利用等腰梯形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)解答．