已知AB是⊙O的直徑，AT與⊙O相切于點(diǎn)A，⊙O交BT于C，CT=CB．
（1）如圖1，求證：AB=AT；
（2）如圖2，OT交⊙O于E，求tan∠TBE的值．
考點(diǎn)：切線的性質(zhì)
專題：
分析：（1）欲證明AB=AT，只需證得AC是邊BT上的中垂線；
（2）過B作BF∥AT交TO的延長(zhǎng)線于F，過B作BG⊥TF于G，過E作EH⊥BT于H，設(shè)AB=2，則OA=OB=OE=1，AT=2，BT=2
2
，OT=
22+12
=
5
，根據(jù)△AOT∽△BOF，求得BF=AT=2，OF=OT=
5
，根據(jù)三角形的面積求得OF•BG=OB•BF，得出BG=
OB•BF
FO
=
2
5
=
2
5
5
，OG=
OB2-BG2
=
5
5
，從而求得TG=OT+OG=
5
+
5
5
=
6
5
5
，根據(jù)△BTG∽△ETH，求得HE=
5
2
-
10
10
，HT=
15
2
-3
10
10
，進(jìn)而求得BH=2
2
-
15
2
-3
10
10
=
5
2
+3
10
10
，從而求得tan∠TBE的值．
解答：（1）證明：如圖1，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°．
又∵CT=CB，
∴AC是邊BT上的中垂線，
∴AT=AB．
（2）解：過B作BF∥AT交TO的延長(zhǎng)線于F，過B作BG⊥TF于G，過E作EH⊥BT于H，
設(shè)AB=2，
∴OA=OB=OE=1，AT=2，BT=2
2
，OT=
22+12
=
5
，
∵△AOT∽△BOF，
∴
AT
BF
=
OT
OF
=
OA
OB
=1，
∴BF=AT=2，OF=OT=
5
，
∴OF•BG=OB•BF，
∴BG=
OB•BF
FO
=
2
5
=
2
5
5
，
∴OG=
OB2-BG2
=
5
5
，
∴TG=OT+OG=
5
+
5
5
=
6
5
5
，
∵△BTG∽△ETH，
∴
HE
BG
=
ET
BT
=
HT
TG
，
∵TE=OT-OE=
5
-1，
∴
HE
2
5
5
=
5
-1
2
2
=
HT
6
5
5
，
∴HE=
5
2
-
10
10
，HT=
15
2
-3
10
10
，
∴∴tan∠TBE=
HE
BH
=
5
2
-
10
10
5
2
+3
10
10
=
5
2
-
10
5
2
+3
10
=
5
-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)三角形相似的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及解直角三角形，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)等式
2-x
+
x-2
-y+3=0成立，則x2的值等于
 
．

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如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，CD=6，cos∠ADC=
3
5
，tanB=
2
3
．
（1）求AC和AB的長(zhǎng)；
（2）求sin∠BAD的值．

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已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A．
（1）若這個(gè)公共點(diǎn)為（2，0），求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為B，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且△OAB是等腰三角形，求該二次函數(shù)的表達(dá)式，并說明它是如何由（1）中的二次函數(shù)的圖象平移得到的．

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如圖，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB=
 
度．（提示：如圖將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知AD是△ABC的中線，G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，則S△ABC：S△CED的值為
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=-x2-4x+5交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P在第二象限的拋物線上，PF⊥x軸于F點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)．若S△PAE：S△AEF=2：3，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

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如圖，圖中有多少條線段，有多少條射線？并寫出其中能用圖中字母表示的線段．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，過C點(diǎn)作CG∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．
（1）試問：CG是⊙O的切線嗎？說明理由；
（2）求證：E為OB的中點(diǎn)；
（3）若AB=8，求弧BC、CG、BG組成的圖形的面積．

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