Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點A．
（1）若這個公共點為（2，0），求二次函數(shù)的表達式；
（2）若二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為B，坐標原點為O，且△OAB是等腰三角形，求該二次函數(shù)的表達式，并說明它是如何由（1）中的二次函數(shù)的圖象平移得到的．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到點A為拋物線的頂點，然后利用頂點式可寫出拋物線解析式；
（2）先根據(jù)頂點坐標公式寫出頂點A的坐標（-

b

2

，0），根據(jù)△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)得到b²-4c=0，再確定B（0，c），接著利用OA=OB得到c=|-

b

2

|，然后解出c=1，b=2或b=-2，所以當b=2，c=1時，拋物線解析式為y=（x+1）²；當b=-2，c=1時，拋物線解析式為y=（x-1）²，再根據(jù)拋物線平移的規(guī)律通過平移拋物線y=（x-2）²得到拋物線y=（x+1）²或拋物線y=（x-1）²．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點A，
∴點A為拋物線的頂點，
∴拋物線解析式為y=（x-2）²；
（2）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點A，
∴點A為拋物線的頂點，且A（-

b

2

，0），b²-4c=0，
當x=0時，y=x²+bx+c=c，則B（0，c），
∵△OAB是等腰三角形，
∴OA=OB，即c=|-

b

2

|，
∴b²=4c²，
∴4c²-c²=0，即得c₁=0（舍去），c₂=1，
∴|-

b

2

|=1，解得b=2或b=-2，
當b=2，c=1時，拋物線解析式為y=x²+2x+1=（x+1）²，它可由拋物線y=（x-2）²向左平移3個單位得到；
當b=-2，c=1時，拋物線解析式為y=x²-2x+1=（x-1）²，它可由拋物線y=（x-2）²向左平移1個單位得到．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．