Question

如圖，已知A（-4，0），B（0，4），現(xiàn)以A點(diǎn)為位似中心，相似比為9：4，將OB向右側(cè)放大，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)及直線BC的解析式；
（2）一拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象；
（3）現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點(diǎn)P，請(qǐng)找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為3

2

的點(diǎn)P．

Answer 1

分析：（1）利用相似及相似比，可得到C的坐標(biāo)．把A，B代入一次函數(shù)解析式即可求得解析式的坐標(biāo)．
（2）頂點(diǎn)落在x軸正半軸上說明此函數(shù)解析式與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，那么△=0，再把B，C兩點(diǎn)即可．
（3）到直線AB的距離為3

2

的直線有兩條，可求出這兩條直線解析式，和二次函數(shù)解析式組成方程組，求得點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：解：（1）過C點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質(zhì)可知△ABO∽△ACD，
∴

AO

AD

=

BO

CD

=

4

9

．
由已知A（-4，0），B（0，4）可知
AO=4，BO=4．
∴AD=CD=9，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，9），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵A（-4，0），B（0，4）在一次函數(shù)解析式上，那么
-4k+b=0，b=4，
解得k=1，
化簡(jiǎn)得y=x+4；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a＞0），由題意得

4=c 9=25a+5b+c b2-4ac=0

，
解得

a1=1 b1=-4 c1=4

，

a2= 1 25 b2= 4 5 c2=4

，
∴解得拋物線解析式為y₁=x²-4x+4或y₂=

1

25

x²+

4

5

x+4，
又∵y₂=

1

25

x²+

4

5

x+4的頂點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，不合題意，故舍去．
∴滿足條件的拋物線解析式為y=x²-4x+4，
（準(zhǔn)確畫出函數(shù)y=x²-4x+4圖象）

（3）將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點(diǎn)P，設(shè)P到直線AB的距離為h，
故P點(diǎn)應(yīng)在與直線AB平行，且相距3

2

的上下兩條平行直線l₁和l₂上．
由平行線的性質(zhì)可得
兩條平行直線與y軸的交點(diǎn)到直線BC的距離也為3

2

．
如圖，設(shè)l₁與y軸交于E點(diǎn)，過E作EF⊥BC于F點(diǎn)，
在Rt△BEF中EF=h=3

2

，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直線l₁與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，10），
同理可求得直線l₂與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∴兩直線解析式l₁：y=x+10；l₂：y=x-2．
根據(jù)題意列出方程組：
（1）

y=x2-4x+4 y=x+10

；（2）

y=x2-4x+4 y=x-2

，
解得

x1=6 y1=16

；

x2=-1 y2=9

；

x3=2 y3=0

；

x4=3 y4=1

，
∴滿足條件的點(diǎn)P有四個(gè)，
它們分別是P₁（6，16），P₂（-1，9），P₃（2，0），P₄（3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：可把位似比轉(zhuǎn)換為相似三角形的相似比；到一條直線的距離為定值的直線是平行于已知直線的兩條直線；平行直線的k的值相等．