Question

如圖①，拋物線y=ax²+bx+c過原點，且當時有最小值，并經過點A（-4，2），同時AB平行于x軸交拋物線于點B；
（1）求該拋物線的解析式和點B的坐標；
（2）過點A作AC⊥x軸于C，在x軸上是否存在點D，使△AOC與△BOD相似？
（3）如圖②，將△AOB繞著點O按逆時針方向旋轉后到達△A′OB′的位置，當線段A′B′的中點E正好落在直線OA上時，求直線A′B′與直線AB的交點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB∥x軸，根據拋物線的對稱性知：點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，由此可求得B點的坐標，然后將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）根據A、B、O三點坐標，可求得OA、OB、AB的長，即可由勾股定理的逆定理判定△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，即∠AOC、∠BOD互余，由此可得∠OAC=∠BOD；若△AOC與△BOD相似，則有兩種情況：
①∠BDO=90°，此時BD⊥x軸，根據點B坐標即可得到點D的坐標；
②∠OBD=90°，此時△AOC∽△ODB，根據相似三角形所得比例線段即可求得D點的坐標．
（3）設直線OA與A′B′的交點為M，當點M在第二象限時，由于△A′OB′是由△AOB旋轉而得，那么∠A′OB′=90°，在Rt△A′OB′中，若M是斜邊A′B′的中點，那么A′M=OM，即∠MOA′=∠A′，由旋轉的性質知∠A=∠A′，等量代換后可求得AB∥OA′，即A′在x軸上，由此可求得點A′、B′的坐標，進而可確定直線A′B′的解析式，聯立直線AB的解析式，即可求得點P的坐標；當點M在第四象限時，也可能落在直線OA上，解法同上．
解答：解：（1）∵AB∥x軸，且拋物線同時經過A、B兩點，
∴A、B關于拋物線的對稱軸對稱；
由于A（-4，2），故B（1，2）；
將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，得：
，解得；
故拋物線解析式為；（1分）
點B坐標為（1，2）；（1分）

（2）∵A（-4，2），B（1，2），O（0，0），
∴AB=5，OA=2，OB=；
∴OB²+OA²=5+20=25=AB²，
故△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠CAO=90°，∴∠CAO=∠BOD；
若∠BDO=90°，則△ACO∽△ODB，此時D（1，0）；（2分）
若∠OBD=90°，則△ACO∽△OBD，
∴，得OD=5，
∴D（5，0）；（2分）

（3）當線段A′B′的中點落在第二象限時，設A'B'與直線OA的交點為M，
∵∠A′OB′=90°，
∴A'M=OM，
∴∠MOA′=∠A′=∠A，
∴AB∥OA′；
∵AB∥x軸，
∴OA′與x軸重合；
此時A′（，0），，
則直線A′B′的函數，（2分）
點P坐標為．（2分）
當線段A′B′的中點落在第四象限時，同理P坐標為．（2分）
點評：此題主要考查二次函數的性質、解析式的確定、直角三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識．（3）題要仔細審題，注意關鍵詞“直線OA”，不要遺漏點E在第四象限的情況．