Question

如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°．
（1）請直接寫出線段PG與PC的位置關(guān)系及

PG

PC

的值．
（2）若將圖1中的菱形BEFG饒點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變，如圖2．那么你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？若沒變化，直接寫出結(jié)論，若有變化，寫出變化的結(jié)果．
（3）在圖1中，若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），將菱形BEFG饒點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請直接寫出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）延長GP交CD于H，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠PDH=∠PFG，然后利用“角邊角”證明△PGF和△PHD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PH=PG，DH=FG，然后求出CH=CG，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可；
（2）延長GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，先求出△PGF和△PHD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GF=HD，PH=PG，再求出∠HDC=∠GBC=60°，然后利用“邊角邊”證明△HDC和△GBC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CH=CG，∠DCH=∠BCG，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可；
（3）延長GP至H，使PH=PG，連接CH，DH，CG，同理先利用“邊角邊”證明△PGF和△PHD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GF=HD，∠PDH=∠PFG，然后求出DH∥GF，再求出DH∥BE，根據(jù)兩邊互相平行的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)求出∠CDH+∠ABE=180°，再根據(jù)周角等于360°求出∠CBG+∠ABE=180°，然后求出∠CDH=∠CBG，然后利用“邊角邊”證明△HDC和△GBC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CH=CG，∠DCH=∠BCG，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可．

解答：解：（1）延長GP交CD于H，
∵CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴PD=PF，
在△PGF和△PHD中，

∠PDH=∠PFG PD=PF ∠DPH=∠FPG

，
∴△PGF≌△PHD（ASA），
∴PH=PG，DH=FG，
∵CH=CD-DH，CG=BC-BG，
BC-CD，BG=FG，
∴CH=CG，
∴PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，
∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∴∠PCG=

1

2

×120°=60°，
∴

PG

PC

=tan60°=

3

；

（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒有變化．
證明：延長GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG（如圖所示）．
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴FP=DP，
由題意可知AD∥FG，故∠GFP=∠HDP，
在△PGF和△PHD中，

∠GPF=∠DPH PD=PF ∠GFP=∠HDP

，
∴△PGF≌△PHD（ASA），
∴GF=HD，PH=PG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵BF、AB在同一條直線上，
∴∠GBC=60°，
∴∠HDC=∠GBC=60°，
∵（菱形）GF=GB，
∴DH=GB，
在△HDC和△GBC中，

BC=CD ∠HDC=∠GBC DH=GB

，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°．
即∠HCG=120°，
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴

PG

PC

=tan60°=

3

；

（3）延長GP至H，使PH=PG，連接CH，DH，CG，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴FP=DP，
在△PGF和△PHD中，

FP=DP ∠DPH=∠FPG PH=PG

，
∴△PGF≌△PHD（SAS），
∴GF=HD，∠PDH=∠PFG，
∴DH=BG，DH∥GF，
∵BE∥GF，
∴DH∥BE，
又∵CD∥AB，
∴∠CDH+∠ABE=180°，
∵∠ABC+∠CBG+∠EBG+∠ABE=360°，∠ABC+∠EBG=180°，
∴∠CBG+∠ABE=180°，
∴∠CDH=∠CBG，
在△HDC和△GBC中，

BC=DC ∠CDH=∠CBG DH=BG

，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
又∵∠ABC=∠BEF=2α，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=∠BCD=180°-2α，
∴∠HCG=180°-2α，
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=

1

2

（180°-2α）=90°-α，
∴

PG

PC

=tan（90°-α）．

點(diǎn)評：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．