Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是，且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）①直接寫出點B的坐標；

②求拋物線解析式．

（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1） B的坐標為（1，0）．y=-x2-x+2．（2）4， P（-2，3）．

【解析】

試題分析：（1）①先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；②設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x-1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；

（2）設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ=-m2-2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；

試題解析：（1）①y=x+2當x=0時，y=2，當y=0時，x=-4，

∴C（0，2），A（-4，0），

由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=-對稱，

∴點B的坐標為（1，0）．

②∵拋物線y=ax2+bx+c過A（-4，0），B（1，0），

∴可設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），

又∵拋物線過點C（0，2），

∴2=-4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2．

（2）設P（m，-m2-m+2）．

過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，

∴Q（m，m+2），

∴PQ=-m2-m+2-（m+2）

=-m2-2m，

∵S△PAC=×PQ×4，

=2PQ=-m2-4m=-（m+2）2+4，

∴當m=-2時，△PAC的面積有最大值是4，

此時P（-2，3）．